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    • 可靠性工程常用分布_二参数威布尔分布计算实例

      威布尔分布为一种常用的连续分布,通常用于机械零件及应力强度疲劳寿命分析。说到连续分布就自然会想到离散型分布,这里顺便总结分类下常用的离散型分布和连续型分布。
      1)离散型分布:二项分布,泊松分布;
      2)连续型分布:正态分布,对数正态分布,指数分布,威布尔分布,伽马分布。

      关于威布尔分布,标准的威布尔分布有二参数和三参数两种形式。这里主要分析下两种计算二参数威布尔分布形状参数β,以及尺度参数η的方法(概率纸法,以及Excel计算法)。
      如下面第一张截图可知二参数威布尔累积分布(故障概率)函数以及可靠性函数分别如下:
      F(t)=1-exp[-(t/η)^β]————公式1;
      R(t)=1-F(t)=exp[-(t/η)^β]—–公式2;
      由公式也可得知威布尔分布形状参数β与浴盆曲线的关系如下(参考如下第二张截图):
      1)β<1时,处于浴盆曲线早夭期,故障率逐渐降低;
      2)β=1时,威布尔分布为指数分布,处于浴盆曲线底部,此时故障率恒定;
      3)β>1时,处于浴盆曲线磨损期,故障率逐渐增高;
      可靠性工程常用分布_二参数威布尔分布计算实例
      可靠性工程常用分布_二参数威布尔分布计算实例

      举一实例如下截图1,20个产品测试1000小时,其中有14个产品在测试过程中分别在如下时间失效:70, 128, 204, 291, 312, 377, 473, 549, 591, 663, 748, 827, 903, 955小时,假设符合二参数威布尔分布,计算威布尔分布的形状参数β,以及尺度参数η。

      解题方法1——威布尔概率纸法;
      1)将失效时间依次从小到大排序作为第一行(用作X轴)—如下截图2;
      2)查询中位秩表(如下截图4),样品总量为20,则中位秩值依次为:0.034,0.083,0.132……0.672作为第二行(用作Y轴); 将各个中位秩值依次对应第一步排序的失效时间(如下截图2)
      这里中位秩值也可以通过公式:Median Rank rj=(j-0.3)/(N+0.4)(如下截图5)计算获得,这里j为失效次序(1,2….),N为样本总量20,例如第一个失效的中位秩值为(1-0.3)/(20+0.4)=0.0343;第二个失效的中位秩值为(2-0.3)/(20+0.4)=0.0833,等等。
      3)在威布尔概率纸上依次对应画点如下截图3;
      4)对这些点用线性拟合的方法画出一条直线(图上右下方实线);
      5)在威布尔概率纸右上方,经过纵坐标故障率0.623(这里0.623取值如何得出?解答如下:F(t)=1-exp[-(t/η)^β], 假设t=η,这F(η)=1-exp(-1)=1-0.367=0.623,参考如下截图6),画出一条平行直线(图上左上方虚线),与威布尔概率纸上方的交叉点即为β值,得出该例β值约为1.3.
      6)由步骤5的解释,经过纵坐标0.623画一条平行于X轴的直线,与拟合直线的交叉点即为η的取值,得出该例η值约为900.
      可靠性工程常用分布_二参数威布尔分布计算实例
      可靠性工程常用分布_二参数威布尔分布计算实例
      可靠性工程常用分布_二参数威布尔分布计算实例
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      可靠性工程常用分布_二参数威布尔分布计算实例
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      解题方法2——Excel拟合计算法;
      1)这里第一步还是先写出故障概率函数如下:
      F(t)=1-exp[-(t/η)^β]————公式1;
      2)将公式1转为包含(X,Y关系)的线性方程,依次推导过程如下,可参考如下第一张截图;
      F(t)=1-exp[-(t/η)^β],
      1-F(t)=exp[-(t/η)^β];
      1/(1-F(t))=exp[(t/η)^β];
      Ln[1/(1-F(t))]=(t/η)^β;
      Ln{Ln[1/(1-F(t))]}=Ln[(t/η)^β];
      Ln{Ln[1/(1-F(t))]}=β[Ln(t)-Ln(η)];—-公式3
      假设Ln{Ln[1/(1-F(t))]}=Y, Ln(t)=X,则公式3可转为:Y=βX-βLn(η)—-公式4;
      3)将失效时间70, 128, …955依次从小到大排序,见如下第二张截图B列;
      4)通过第一种方法中的中位秩值计算法:Median Rank rj=(j-0.3)/(N+0.4),依次得出F(t)的值为0.0343,0.0833,….0.6716.见如下第二张截图C列;
      5)用Excel依次计算出Y以及X的值,见如下第二张截图F列和G列;
      6)在Excel中对如下第二张截图F列和G列的数值进行线性拟合,线性拟合步骤入下:
      1: 如下截图3,选中X,Y对应区域数据,插入图表X,Y(Scatter),接下一步;
      2: 如下截图4,对X,Y轴坐标对应坐标点进行赋值,接下一步;
      3: 如下截图5,得出X,Y坐标轴上的散点图,接下一步;
      4: 如下截图6,选中散点进行线性拟合,接下一步;
      5: 如下截图7,得出拟合直线,显示线性方程Y=1.2818X-8.7644。
      7)由上线性方程Y=1.2818X-8.7644,得出β=1.2818;βLn(η)=8.7644;
      8)算出η=exp{8.7644/β)=exp{8.7644/1.2818)=932.22
      可靠性工程常用分布_二参数威布尔分布计算实例
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      可靠性工程常用分布_二参数威布尔分布计算实例
      可靠性工程常用分布_二参数威布尔分布计算实例

      顺便拓展下:1)经常听说风扇的L10寿命,为何MTTF=7*L10?:
      L10为测试有10%的的不良率的产品寿命,通常风扇失效模型采用威布尔分布,则F(t)=0.1,F(t)=1-exp[-(t/η)^β]=0.1, 
      则exp[-(t/η)^β]=0.9,t=L10,η为尺度参数,也可以表述成特征寿命,
      exp[(L10/η)^β]=1/0.9=1.111;—-公式5;
      MTTF为产品寿命期望值为63.2%不良时对应的预期时间,由以上分析,可设η=MTTF(这里未找到出处….)
      则(L10/MTTF)^β=Ln1.111=0.10536;
      这里MTTF与L10的关系为与β相关的值,而不是简单写成7,当然如果风扇厂商有多年数据统计,可能得出β值,这里发现只有当β=1.155时,才约为7倍关系。如果有不同推导方式的朋友可以分享下~~

      2)当产品寿命服从威布尔分布时MTTF=ηΓ(1/β+1)—-公式6;这里Γ为伽马函数(参考如下截图);但这里在Excel中用什么函数计算呢?
      答案:Excel中未提供直接计算伽马函数的公式,但提供了GAMMALN函数,它给出了伽马函数的自然对数,因此可以通过e的幂函数计算,为GAMMA(X)=EXP(GAMMLN(X));
      这里可以举个特例,当β取值为1时,Γ(1/1+1)=1,可自行到Excel中计算。

      写到这里发现第一个问题与第二个问题应该是关联的,应该可以通过第二个问题反推出MTTF与L10的关系:
      例如由公式6可得—η=MTTF/Γ(1/β+1)—-公式7;
      将公式7代入公式5,得exp{L10/[MTTF/Γ(1/β+1)]}^β=1/0.9=1.111—-公式8;
      由公式8得{L10/[MTTF/Γ(1/β+1)]}^β=Ln(1/0.9);—-公式9
      公式9才是真正能反应MTTF与L10的关系,与β相关。
      可靠性工程常用分布_二参数威布尔分布计算实例

      个人笔记,欢迎交流~~

       
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    • eason510678黎明前与后

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      宝清Lv.3
      [s-68]
    • 0
      这才是分享,哪些提问题都隐藏收金币的情何以堪。感谢楼主分享~
    • 0
      cf2010Lv.2
      @schome 国标中有讲到这个
    • 0
      cf2010Lv.2
      还有极大似然法可以进行参数估计,极大似然法在样本较多时,参数估值效果较好
    • 0
      schomeLv.1
      这是参考的那本书啊?可以给下书的名称吗?
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