柔性路面可靠性的极值理论分析
黄 卫 赵延庆 钱国超
[东南大学, 南京, 210096 ]
摘 要: 介绍了极值理论在柔性路面可靠性分析中的应用。研究了弯沉和疲劳寿命合理的渐近分布形式, 弯沉的最大值与最小值的极值分布均可用1 型渐近分布来表示, 疲劳寿命最大值的极值分布可用1 型渐近分布来表示; 疲劳寿命最小值的极值分布采用3 型渐近分布来表示。使用渐近分布来表示极值分布, 为使结果有很好的精度, 样本容量应不小于70。并给出一种利用第一阶顺序统计量来确定随机变量分布曲线下界值的方法。利用渐近分布计算路面结构的可靠度, 当失效率小时,将得到很高精度的结果。
关键词: 极值, 渐近分布, 弯沉, 疲劳, 寿命, 可靠度
中图分类号:U 416
Rel iabil ity Ana lys is for Flex ible Pavement by Extreme Va lue Theory
H uang W ei Z hao Y anqing Q ian Guochao
[Southeast U niversity, N anjing, 210096 ]
Abstract: Th is paper in t roduces app licat ion s of ex t rem e value theo ry in reliab ility analysis fo r f lex ib le pavem en t s. The p roper asymp to t ic dist ribu t ion fo rm s fo r def lect ion and fat igue life are researched. Fo r bo th largest and sm allest value of def lect ion, the p roper fo rm s are type 1 asymp to t ic dist ribu t ion, fo r largest value of fat igue life, it is type 1, and type 3 fo rsm allest value of fat igue life. W hen the ex t rem e value dist ribu t ion s are def ined by asympto t ic dist ribu t ion, the samp le shou ld be larger than 70 to get accu rate resu lt s. A m ethod of determ in ing low bound of random variab le is p resen ted u sing the f irst o rder stat ist ic. Reliab ility of f lex ib le pavem en t s are calcu lated u sing asymp to t ic dist ribu t ion, the resu lt s are very p recise w hen the failu re rates are low.
Key words: Ex t rem e value, A symp to t ic dist ribu t ion, Def lect ion, Fat igue life, Reliab ility
1 极值分布
在工程问题的可靠性分析中, 经常会遇到要计算某一随机变量超过某一给定值的概率,
通常可直接根据该随机变量的概率密度函数来计算。但是, 根据采集到的随机变量的样本数
据所确定的该随机变量的概率密度函数, 其分布曲线的尾端通常是该曲线中定义的最不精
确的部分。当给定值位于该分布曲线的尾端时, 并不能得到精确的结果。利用顺序统计量,
可以很好地解决这一问题。把某随机变量的一样本从低到高排序, 并把第1 个样本值看作随
机变量, 它对于从同一总体中取得的容量相同的各样本具有不同的值。样本必须是随机选择
的, 而且彼此相互独立, 这一随机变量称为第1 阶顺序统计量, 记为O i。通过顺序统计量, 就
能在随机变量变化范围内对某一部分进行微观观察, 即对一个随机变量在某一局部区域内
的随机性质提供一种放大的影象。所以根据极值理论(顺序统计量的推广) 得到的极值估计
值比根据母体分布所得到的极值估计值更为准确。为此, 需要一组容量为N 的样本, 并把每
个样本中的最大(或最小) 值做为极值的一个样本值, 重复这一过程n 次, 得到的最大值和最
小值将组成它们各自的母体, 则此极值可以用具有各自的概率分布的随机变量来模拟。对于
特定的某几种一般类型的原始分布, 当N 较大时, 极值分布可以准确地表达为一些理论分
布, 通常称为渐近分布, 常用的渐近分布分为: 1 型渐近分布; 2 型渐近分布; 3 型渐近分布。1
型渐近分布适用于原始分布中包含极值的尾端具有指数函数的性质。2 型渐近分布适用于
原始分布具有多项式尾部(在适当的极值方向上)。3 型渐近分布适用于原始分布具有有限
的上限值或下限值。
2 弯沉的极值分布
本研究中所用的路面模式为中国《柔性路面设计规范》[ 4 ]中所规定的三层弹性体系, 承
受双圆均布垂直荷载的作用。由文献[3 ], 路面结构和荷载等设计参数为随机变量, 均服从正
态分布, 其余变量均为确定型变量。本文中模量的单位均为M Pa, 厚度单位均为cm , 轮载的
单位为M Pa。
根据文献[4 ], 中国柔性路面设计方法是以路表回弹弯沉为控制指标的。对于疲劳寿命,
值得关心的是极值分布的最小值问题。相应于弯沉来说, 则是极值分布的最大值问题。为了
对路面结构的疲劳寿命或弯沉进行概率分析, 需要足够多的疲劳寿命或弯沉的样本, 采用蒙
特卡洛模拟法, 利用弯沉计算的简化公式[ 2 ] , 计算上述三层体系双圆荷载轮隙中心点的弯沉
值和路面结构的疲劳寿命, 产生容量足够大的疲劳寿命和弯沉的理论样本值。然后把这组原
始样本分为容量相同的n 组, 每组的容量为N 。选出每一组的最大值或最小值的样本值, 这
些最大值或最小值组成了最大值或最小值的母体样本, 进而可以得到最大值和最小值的极
值分布的渐近形式。
211 最大值问题
